Question

【题目】如图，在边长为8的等边△BCD中，DF⊥BC于点F，点A为射线DF上一动点，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC．

（1）当点A在线段DF的延长线上时，求证：DA＝CE；

（2）当∠DEC＝45°时，连接AC，求四边形ABDC的面积；

（3）连接EF，当EF取得最小值时，线段AB的长是多少？（只写答案，不要过程）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）32；（3）.

【解析】

（1）根据旋转的性质、等边三角形的性质由SAS证明△BAD≌△BEC即可得出结论；

（2）先证明∠DCE＝∠BCE+∠BCD＝90°，由∠DEC＝45°，证得△DCE是等腰直角三角形，从而可得CE的长，即为DA的长，进一步即可得出结果；

（3）由前面的结论知：在点A运动的过程中，始终保持∠BCE＝30°不变，即点E在射线CE上运动，于是当EF⊥CE时，EF取得最小值，过点E作EG⊥BC于点G，如图2所示，利用30°的直角三角形的性质和勾股定理可求出BE的长，即为AB的长，问题即得解决.

（1）证明：∵把BA顺时针方向旋转60°至BE，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°，

在等边△BCD中，DB＝BC，∠DBC＝60°，

∴∠DBA＝∠DBC+∠FBA＝60°+∠FBA，

∵∠CBE＝60°+∠FBA，

∴∠DBA＝∠CBE，

在△BAD和△BEC中，∵BA＝BE，∠DBA＝∠CBE，DB＝BC ，

∴△BAD≌△BEC（SAS），

∴DA＝CE；

（2）解：如图1所示：∵DB＝DC，DA⊥BC，

∴∠BDA＝∠BDC＝30°，

∵△BAD≌△BEC，∴∠BCE＝∠BDA＝30°，

在等边△BCD中，∵∠BCD＝60°，

∴∠DCE＝∠BCE+∠BCD＝30°+60°＝90°，

∵∠DEC＝45°，

∴△DCE是等腰直角三角形，

∴CE＝CD＝8，

由（1）得：DA＝CE，

∴DA＝CE＝8，

∵DF⊥BC，

∴四边形ABDC的面积＝BC×AD＝×8×8＝32；

（3）由（2）知∠BCE＝∠BDA＝30°，

∴在点A运动的过程中，始终保持∠BCE＝30°不变，即点E在射线CE上运动，

∴当EF⊥CE时，EF取得最小值，过点E作EG⊥BC于点G，如图2所示：

∵△BCD是等边三角形，DF⊥BC，

∴BF＝CF＝BC＝4，

∵∠BCE＝∠FEG＝30°，

∴EF＝CF＝2，

∴FG＝EF＝1，EG＝EF＝，

∴，

∴，

∴.