Question

（2006•湖北）如图，已知CA、CB都经过点C，AC是⊙B的切线，⊙B交AB于点D，连接CD并延长交OA于点E，连接AF．
（1）求证：AE⊥AB；
（2）求证：DE•DC=2AD•DB；
（3）如果AE=3，BD=4，求DC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据切线的性质知：∠ACB=90°，由AC=AE，可得∠AEC=∠ACE，由BC=BD，可知∠BCD=∠BDC，再根据∠BDC=∠ADE，可得AE⊥AB；
（2）根据△ADE∽△FDB可得出DE•DC=2AD•DB；
（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理可将AD的长求出，代入第二个小题的结论，可得出DC的长．
解答：（1）证明：∵AC是⊙B的切线，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°．
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC．
∴∠ACD+∠BDC=90°．
∵AC=AE，
∴∠ACD=∠AED．
∵∠ADE=∠BCD，
∴∠AED+∠ADE=90°．
∴∠EAD=90°．
即AE⊥AB．

（2）证明：过点B作BF⊥CD于点F，
∵∠ADE=∠BDF，∠EAD=∠BFD，
∴△ADE∽△FDB．
∴=．
即DE•FD=AD•DB．
∵DC=2FD，
∴DE•DC=2AD•DB．

（3）解：∵AE=3，BD=4，
在Rt△ABC中，
（AD+BD）²=AC²+BC²．
即（AD+4）²=3²+4²解得AD=1，
∴DE===．
∵DE•DC=2AD•DB，
即×DC=2×1×4，
∴DC=．
点评：本题主要考查切线的性质及相似三角形的判定和应用．