Question

7．如图所示，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M位AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP长为（　　）

• A． 0.5
• B． 1
• C． 1或2
• D． 0.5或2.5

Answer 1

分析 根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．

解答 解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，
∴tan30°=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即DE=$\sqrt{3}$cm，
根据勾股定理得：AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$cm，
∵M为AE的中点，
∴AM=AE=$\sqrt{3}$cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=PN}\\{AE=PQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=$\frac{AM}{AP}$，
∴AP=$\frac{AM}{cos30°}$=2cm；
由对称性得到AP′=DP=AD-AP=3-2=1cm，
综上，AP等于1cm或2cm．
故选C．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．