Question

某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植-亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；
（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可知直接计算这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）；
（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k₁x+3000，并根据图象上点的坐标利用待定系数法求函数的解析式即可；
（3）表示出蔬菜的总收益w（元）与x之间的关系式，w=-24x²+21600x+2400000，利用二次函数最值问题求最大值．
解答：解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）

（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：
y=kx+800，z=k₁x+3000，
分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，
50k+800=1200，100k₁+3000=2700，
解得：k=8，k₁=-3，
种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800
每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=-3x+3000

（3）由题意：
w=yz=（8x+800）（-3x+3000）
=-24x²+21600x+2400000
∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元．
点评：主要考查利用一次函数和二次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．利用二次函数的顶点坐标求最值是常用的方法之一．