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在四边形ABCD中,∠BAD=90°,AB=4
3
cm,连接AC,△ABC恰好为等边三角形,△ACD恰好为直角三角形.求四边形ABCD的面积.
分析:首先对图形进行分析,当∠ADC=90°和当ACD=90°,所画图形不同,再利用勾股定理可以求出三角形ABC的面积,再利用解直角三角形的知识求出AD,CD,从而得出三角形面积,从而得出答案.
解答:精英家教网解:①作AE⊥BC于点E,
当∠ADC=90°,
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC=4
3

∴EC=2
3

∴AE=
AC2-EC2
=6,
∠BAC=60°,
∵∠BAD=90,
∴∠CAD=90°-60°=30°,
在Rt△ACD中,
CD=
1
2
AC=2
3
,AD=
AC 2-CD2
=6,
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
1
2
×BC×AE+
1
2
CD×AD,
=
1
2
×4
3
×6+
1
2
×2
3
×6,
=12
3
+6
3

=18
3


②当∠ACD=90°,
精英家教网∵AC=4
3
,∠BAD=90°,
∴∠CAD=30°,
∴tan30°=
CD
AC

解得:CD=4,
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
1
2
×BC×AE+
1
2
CD×AC,
=
1
2
×4
3
×6+
1
2
×4
3
×4,
=12
3
+8
3

=20
3
点评:此题主要考查了勾股定理与解直角三角形的应用,根据已知进行分类讨论得出两种情况,这种思想经常运用与数学运算与证明,同学们应熟练掌握此知识.
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