初三(04)班在一次答题活动中,签筒中有4根形状,大小相同的纸签,签里头分别写上了一个方程:
①x2-x=0;②(x-1)2-(2x-5)2=0;③x2+12x+36=0;④x2-3x-1=0.
(1)四个方程中有两个相等的实数根的方程是______(填番号即可),并解有两个相等的实数根方程;
(2)小明首先抽签,他看不到纸签上的方程的情况下,从签中随机地抽取一根纸签,那么他抽到两根均为正整数的方程的概率是______.
解:(1)①x
2-x=0,
∵a=1,b=-1,c=0,
∴b
2-4ac=(-1)
2-4×1×0=1>0,
则方程有两个不相等的实数根,
方程化为x(x-1)=0,
解得:x
1=0,x
2=1;
②(x-1)
2-(2x-5)
2=0,
整理为:x
2-6x+8=0,
∵a=1,b=-6,c=8,
∴b
2-4ac=(-6)
2-4×1×8=4>0,
则方程有两个不相等的实数根,
方程变形为:(x-1)
2=(2x-5)
2,
可化为x-1=2x-5或x-1=-(2x-5),
解得:x
1=2,x
2=4;
③x
2+12x+36=0,
∵a=1,b=12,c=36,
∴b
2-4ac=12
2-4×1×36=0,
则方程有两个相等的实数根,
方程变形为(x+6)
2=0,
解得:x
1=x
2=-6;
④x
2-3x-1=0,
∵a=1,b=-3,c=-1,
∴b
2-4ac=(-3)
2-4×1×(-1)=13>0,
则方程有两个不相等的实数根,
解得x=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/185681.png)
,
∴x
1=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/34273.png)
,x
2=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/239242.png)
;
四个方程中有两个相等的实数根的方程是③,其解如上所示;
(2)四个方程中两解都为正整数的方程为②,只有一个,
则抽到两根均为正整数的方程的概率P=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/96.png)
.
故答案为:(1)③;(2)
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/96.png)
分析:(1)找出四个方程中的二次项系数a,一次项系数b及常数项c,计算出b
2-4ac的值,即可得到有两个相等实数根的方程,求出此方程的解即可;
(2)方程①左边提取x,利用因式分解法求出解;方程②移项后根据两数平方相等,两数相等或互为相反数转化为两个一元一次方程来求解;方程③利用完全平方公式变形后,开方求出解;方程④利用公式法求出解,找出两解都为正整数的方程,即可求出所求的概率.
点评:此题考查了根的判别式,一元二次方程的解法,以及概率的计算,一元二次方程ax
2+bx+c=0(a≠0),当b
2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b
2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b
2-4ac<0时,方程无解.