Question

已知角A是锐角，且tanA、cotA是关于x的一元二次方程x²+2kx+k²-3=0的两个实数根．
（1）求k的值；
（2）问：角A能否等于45°？请说明你的理由．

Answer 1

解：（1）依题意得tanA•cotA=k²-3，
即1=k²-3，k²=4，
∴k=±2．
由∠A是锐角知tanA＞0，cotA＞0．
∴2k=-（tanA+cotA）＜0，
即k＜0，
∴k=-2，
此时方程的根的判别式△=（-4）²-4[（-2）²-3]=12＞0，
所以方程有实数根，
∴k=-2；

（2）若A=45°，则tanA=cotA=1，
将x=1代入方程x²-4x+4-3=0，
左边=1-4+1=-4≠0
∴1不是方程的根，
∴A不能取45°．
分析：（1）根据tanA•cotA=1和根与系数的关系x₁•x₂=，列出关于k的方程求解，注意角A是锐角，所以tanA＞0，cotA＞0，
所以x₁+x₂=＜0，然后可以确定k的值；
（2）若A=45°，则tanA=cotA=1，即方程的解是x=1，代入方程x²-4x+4-3=0的左右两边不相等，即1不是方程的解，说明A不能取45°．
点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式．