Question

已知x+

1

x

=3，则x10+x5+

1

x5

+

1

x10

=

 

．

Answer 1

分析：利用完全平方公式以及立方差公式进行分解得出x¹⁰+

1

x10

以及x⁵+

1

x5

进而得出答案．

解答：解：∵x+

1

x

=3
∴(x+

1

x

)2=x2+

1

x2

+2，
即x2+

1

x2

=7，
x3+

1

x3

=(x2+

1

x2

)(x+

1

x

)-（x+

1

x

）=21-3=18，
x4+

1

x4

=X²+

1

X2

-2=49-2=47，
x5+

1

x5

=(x4+

1

x4

)(x+

1

x

)-（x3+

1

x3

），
=47×3-18，
=123，
x10+

1

x10

=(x5+

1

x5

)2-2=1232-2=15127，
故x10+x5+

1

x5

+

1

x10

=15250
故答案为：15250．

点评：此题主要考查了完全平方公式以及分式的化简等知识，灵活运用立方差公式以及完全平方公式是解决问题的关键．