Question

如图，已知BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于E，且AE=BE．
（1）求证：

AB

=

AF

；
（2）如果sin∠FBC=

3

5

，AB=4

5

，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）求得∠C=∠ABF，通过同圆中相等的圆周角对应的弧相等，可证明

AB

=

AF

；
（2）利用sin∠FBC=

3

5

，AB=4

5

，设DE=3x，BE=AE=5x，BD=4x，利用Rt△ABD中的勾股定理列方程求解即可AD=8x=8．

解答：（1）证明：连接AF、AC，则∠F=∠C，
∵AE=BE，
∴∠DAB=∠ABE．
∵∠BAD=∠C=90°-∠ABD，
∴∠C=∠ABF．
∴

AB

=

AF

．

（2）解：∵sin∠FBC=

3

5

，AB=4

5

，
∴设DE=3x，BE=AE=5x，BD=4x．
在Rt△ABD中，（8x）²+（4x）²=AB²=80
解得x=1．
所以AD=8x=8．

点评：主要考查了圆中的有关性质．要掌握其中的相交弦定理，圆心角，弧，圆周角之间的关系和勾股定理的运用是解题的关键．