解:(1)由题意,得
解得
∴所求抛物线的解析式为:y=-x
2-x+2
(2)设点M的坐标为(m,0),则OM=m,ON=2m,CN=2-2m.
S
△MNC=
NC•OM=
(2-2m)•m=-m
2+m=-(m-
)
2+
由-x
2-x+2=0
得x
1=-2,x
2=1.
∴点B的坐标为(1,0).
则0<m<1,
∴当m=
时,S
△MNC有最大值
此时,点M的坐标为(
,0),点N的坐标为(0,1).
(3)在△ODF中,
①若DO=DF,∵A(-2,0),D(-1,0),
∴AD=DO=DF=1.
又在Rt△AOC中,OA=OC=2,
∴∠OAC=45度.
∴∠DFA=∠OAC=45度.
∴∠ADF=90度.此时,点F的坐标为(-1,1).
由-x
2-x+2=1,x;
1=
,x
2=
此时,
点P的坐标为:(
,1)或(
,1)
②若FO=FD,过点F作FE⊥x轴于点E.
由等腰三角形△AEF中,FE=AE=
.
∴F(-
,
)
由-x
2-x+2=
,
得x
1=
,x
2=
此时,
点P的坐标为:(
,
)或(
,
)
③若OF=OD,∵OA=OC=2,且∠AOC=90°,
∴AC=2
.
∴点O到AC的距离为
,而OF=OD=1<
,
此时,不存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形.
综上所述,存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形,
所求点P的坐标为:(
,1)或(
,1)或(
,
)或(
,
).
分析:(1)将A、C的坐标代入抛物线中进行求解即可.
(2)先根据抛物线的解析式求出B点的坐标,即可求出OB的长,然后设M的坐标为(m,0),可用m表示OM和NC的长,然后根据三角形的面积公式即可得出关于△CMN的面积与m之间的函数关系式,根据函数的性质和m的取值范围即可求出△CNM的最大值及对应的M、N的坐标.
(3)本题要分三种情况进行讨论:
①OF=DF,此时F必在OD的垂直平分线上,即F的横坐标为-
,可根据直线AC的解析式求出F点的坐标,然后将F的纵坐标代入抛物线中即可求出P点的坐标.
②OD=DF,DF=1,易知:OA=OC=2,因此AD=OD=DF=1,三角形AFO为等腰直角三角形,因此可得出F(-1,1),后同①.
③当OD=DF=1时,②中已经得出△OAC为等腰直角三角形,因此O到AC的距离为
>1,因此这种情况不成立.
点评:本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识点,综合性强,考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法.