Question

24、如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2
（1）求证：D是EC中点；
（2）求FC的长．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的对边平行可以得到AB∥CD，又AE∥BD，可以证明四边形ABDE是平行四边形，所以AB=DE，故D是EC的中点；
（2）连接EF，则△EFC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到△CDF是等腰三角形，再利用∠ABC=60°推得∠DCF=60°，所以△CDF是等边三角形，FC=DF，FC的长度即可求出．

解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，
AB∥CD，且AB=CD，
又∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴CD=DE，
即D是EC的中点；

（2）连接EF，∵EF⊥BF，
∴△EFC是直角三角形，
又∵D是EC的中点，
∴DF=CD=DE=2，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴FC=DF=2．
故答案为：2．

点评：本题主要考查了平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等边三角形的判定，熟练掌握性质定理并灵活运用是解题的关键，（2）中连接EF构造出直角三角形比较重要．