Question

如图，⊙O的半径为1，如果作两条互相垂直的直径AB，CD，那么弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边．若以A为圆心，以1为半径画弧，弧与⊙O相交于点E，F，则弦EC是⊙O的内接正十二边形的一条边，EC的长为（　　）

• A、

  3 -1

  4

• B、

  6 - 2

  4

• C、

  3 -1

  2

• D、

  6 - 2

  2

Answer 1

分析：利用正多边形和圆的关系得到相应的角的度数和边的长度进行计算．

解答：解：由题意得∠AOC=90°，
根据勾股定理易得AC=

2

，
那么在△AEC中，AE=1，AC=

2

；
∵EC是⊙O的内接正十二边形的一条边，
∴∠EAC=15°，
同理∠ACE=30°，
作EF=EC交AC于点F，
那么EF=EC，∠EFC=∠C=30°，
∴∠AEF=∠EAF=15°；
作EG⊥AC于点G，
设EC=x，
那么CG=FG=

3

2

x，
AF=EF=CE=x；
∵AF+FG+EC=AC，
∴x+

3

2

x+

3

2

x=

2

，
解得x=

6 - 2

2

．
故选D．

点评：解决本题的关键是利用正多边形和圆的关系得到相应的角的度数和边的长度，难点是作辅助线构造等腰三角形和直角三角形求解．