Question

【题目】已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．

（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式;
（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由;
（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线E1经过点A（1，m），

∴m=12=1．

∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为y=ax2（a≠0），

又∵点B（2，2）在抛物线E2上，

∴2=a×22，

解得：a=，

∴抛物线E2所对应的二次函数表达式为y=x2．

（2）

解：如图1，假设在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得△QBB′为直角三角形，

由图象可知直角顶点只能为点B或点Q．

①当点B为直角顶点时，过B作QB⊥BB′交抛物线E1于Q，

则点Q与B的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x2得y=4，

∴点Q的坐标为（2，4）．

②当点Q为直角顶点时，则有QB′2+QB2=B′B2，过点Q作GQ⊥BB′于G，

设点Q的坐标为（t，t2）（t＞0），

则有（t+2）2+（t2﹣2）2+（2﹣t）2+（t2﹣2）2=4，

整理得：t4﹣3t2=0，

∵t＞0，∴t2﹣3=0，解得t1=，t2=（舍去），

∴点Q的坐标为（，3），

综合①②，存在符合条件的点Q坐标为（2，4）与（，3）

（3）

解：如图2，过点P作PC⊥x轴，垂足为点C，PC交直线AA′于点E，

过点P′作P′D⊥x轴，垂足为点D，P′D交直线BB′于点F，

依题意可设P（c，c2）、P′（d，d2） （c＞0，c≠q），

∵tan∠POC=tan∠P′OD，

∴，

∴d=2c．

∵AA′=2，BB′=4，

∴

【解析】（1）直接将（2，2）代入函数解析式进而求出a的值；
（2）由题意可得，在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得△QBB′为直角三角形，由图象可知直角顶点只能为点B或点Q，分别利用当点B为直角顶点时以及当点Q为直角顶点时求出Q点坐标即可；
（3）首先设P（c，c2）、P′（d，d2），进而得出c与d的关系，再表示出△PAA′与△P′BB′的面积进而得出答案．
【考点精析】关于本题考查的二次函数图象以及系数a、b、c的关系和二次函数图象的平移，需要了解二次函数y=ax2+bx+c中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上; a<0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）；平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减才能得出正确答案．