Question

11．已知y=x²+2x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（-3，0）．
（1）求点C，点D的坐标；
（2）试判断点C与以AD为直径的圆的位置关系；
（3）如图，连结AD，BC，并延长交于E点，求∠E的度数；
（4）点（4，0），点Q是x轴下方的抛物线上一点，直线PQ交线段BC于点M，若∠PMB=∠E，则求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定点C，点D的坐标；
（2）连结AC，CD，根据勾股定理的逆定理可求∠ACD=90°，取AD中点O′，连结O′C，可得O′C=$\frac{1}{2}$AD，再根据点与圆的位置关系即可求解；
（3）根据相似三角形的判定可得△OBC∽△CDA，根据相似三角形的性质可得∠OCB=∠CAD，进一步可求∠E=45°；
（4）作抛物线的对称轴交x轴于点H，设直线PQ交y轴于点N．根据AA可得△PON∽△DHA，根据相似三角形的性质可得N（0，2），可得直线PQ的解析式，联立抛物线解析式即可得到点Q的坐标．

解答 解：（1）∵A（-3，0），
∴9-6+c=0，
解得c=-3，
即y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴C（0，-3），D（-1，-4）；
（2）连结AC，CD，
∵AC=3$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{5}$，CD=$\sqrt{2}$，
AC²+CD²=AD²，
∴∠ACD=90°，
取AD中点O′，连结O′C，则O′C=$\frac{1}{2}$AD，
∴点C在以AD为直径的圆上；
（3）∵OA=3，OB=1，AC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{OB}{CD}$=$\frac{OC}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
又∵∠BOC=∠ACD=90°，
∴△OBC∽△CDA，
∴∠OCB=∠CAD，
又∵∠ACB=45°+∠OCB=∠E+∠CAD，
∴∠E=45°；
（4）作抛物线的对称轴交x轴于点H，设直线PQ交y轴于点N．
∵∠PMB=∠E=45°，
∴PQ⊥AD，
∴∠ADH=∠APM，
又∵∠PON=∠AHD=90°，
∴△PON∽△DHA，
∴$\frac{OP}{DH}$=$\frac{ON}{AH}$，即$\frac{4}{4}$=$\frac{ON}{2}$，
∴ON=2，即N（0，2），
∴y_PQ=$\frac{1}{2}$x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-2}\\{y={x}^{2}+2x-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{1}{2}}\\{{y}_{2}=-\frac{7}{4}}\end{array}\right.$．
即：Q（-2，-3）或Q（$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二次函数与相似三角形的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一．