Question

如图，直线l₁：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，且与直线l₂：相交于点P（﹣1，0）．
（1）求直线l₁、l₂的解析式；
（2）直线l₁与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l₂上的点B₁处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l₁上的点A₁处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l₂上的点B₂处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l₁上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，… 照此规律运动，动点C依次经过点B₁，A₁，B₂，A₂，B₃，A₃，…，B_n，A_n，…
①求点B₁，B₂，A₁，A₂的坐标；
②请你通过归纳得出点A_n、B_n的坐标；并求当动点C到达A_n处时，运动的总路径的长？

Answer 1

解：（1）∵y=kx+b平行于直线y=x﹣1，
∴y=x+b
∵过P（﹣1，0），
∴﹣1+b=0，
∴b=1
∴直线l₁的解析式为y=x+1；
∵点P（﹣1，0）在直线l₂上，
∴；
∴；
∴直线l₂的解析式为；
（2）①A点坐标为（0，1），
则B₁点的纵坐标为1，设B₁（x₁，1），
∴；
∴x₁=1；
∴B₁点的坐标为（1，1）；
则A₁点的横坐标为1，设A₁（1，y₁）
∴y₁=1+1=2；
∴A₁点的坐标为（1，2），即（2¹﹣1，2¹）；
同理，可得B₂（3，2），A₂（3，4），即（2²﹣1，2²）；
②经过归纳得A_n（2^n﹣1，2ⁿ），B_n（2ⁿ﹣1，2^n﹣1）；
当动点C到达A_n处时，运动的总路径的长为A_n点的横纵坐标之和再减去1，
即2ⁿ﹣1+2ⁿ﹣1=2ⁿ⁺¹﹣2．