Question

如图，△ABC的内切圆分别切AB、BC、AC于D、E、F三点，其中P、Q两点分别在

DE

、

DF

上．若∠A=30°，∠B=80°，则

DPE

的长与

DQF

的长之比为

 

．

Answer 1

分析：由于

DPE

、

DQF

所在的圆是同一个圆，因此半径相同，那么它们的弧长比应等于圆心角的度数比；设△ABC的内切圆为⊙O，连接OD、OE、OF，由切线的性质知OE⊥BC、OD⊥AB、OF⊥AC，由此可得∠DOE、∠B互补，∠DOF、∠A互补，由此求得两段弧的圆心角，即可得解．

解答：解：设△ABC的内切圆的圆心为O，连接OD、OE、OF；
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC；
∴∠ODB=∠OEB=∠ODA=∠OFA=90°，
∴∠DOE=180°-∠B=100°，∠DOF=180°-∠A=150°；
设⊙O的半径为R，则：

DPE

的长=

100×πR

180

，

DQF

的长=

150×πR

180

，
故

DPE

的长与

DQF

的长之比为：

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：此题主要考查了三角形的内切圆以及弧长的计算公式，难度不大．