Question

已知1³=1=

1

4

×1²×2²，1³+2³=9=

1

4

×2²×3²，1³+2³+3³=36=

1

4

×3²×4²，…，按照这个规律完成下列问题：
（1）1³+2³+3³+4³+5³=

225

=

1

4

×

5

²×

6

²．
（2）猜想：1³+2³+3³+…+n³=

1

4

×n²×（n+1）²

．
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）11³+12³+31³+14³+15³+16³+…+39³+40³．

Answer 1

分析：（1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到1³+2³+3³+4³+5³的结果；
（2）根据上面的四个算式总结得到规律1³+2³+3³+…+n³=

1

4

×n²×（n+1）²；
（3）11³+12³+31³+14³+15³+16³+…+39³+40³转化为1³+2³+3³+…+39³+40³-（1³+2³+3³+…+10³）后利用总结的规律即可求得答案．

解答：解：（1）1³+2³+3³+4³+5³=225=

1

4

×5²×6²    
（2）猜想：1³+2³+3³+…+n³=

1

4

×n²×（n+1）²        
（3）利用（2）中的结论计算：
11³+12³+31³+14³+15³+16³+…+39³+40³．
解：原式=1³+2³+3³+…+39³+40³-（1³+2³+3³+…+10³）
=

1

4

×40²×41²-

1

4

×10²×11²                 
=672400-3025
=669375

点评：本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键．