Question

2．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C两点．
（1）求证：PA•PB=PD•PC；
（2）若PA=$\frac{45}{4}$，AB=$\frac{19}{4}$，PD=DC+2，求点O到PC的距离．

Answer 1

分析 （1）先连接AD，BC，由圆内接四边形的性质可知∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，故可得出△PAD∽△PCB，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由PA•PB=PD•PC，求出CD，根据垂径定理可得点O到PC的距离．

解答 解：（1）连接AD，BC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，
∴△PAD∽△PCB，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}$，
∴PA•PB=PC•PD；

（2）连接OD，作OE⊥DC，垂足为E，
∵PA=$\frac{45}{4}$，AB=$\frac{19}{4}$，PD=DC+2，
∴PB=16，PC=2DC+2
∵PA•PB=PD•PC，
∴$\frac{45}{4}$×16=（DC+2）（2DC+2），
解得：DC=8或DC=-11（舍去）
∴DE=4，
∵OD=5，
∴OE=3，
即点O到PC的距离为3．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质以及垂径定理，根据题意判断出△PAD∽△PCB是解答此题的关键．