Question

如图，在三角形ABC中，AC=BC，若将△ABC沿BC方向向右平移BC长的距离，得到△CEF，连接AE．
（1）试猜想，AE与CF有何位置上的关系？并对你的猜想给予证明；
（2）若BC=10，tan∠ACB=时，求AB的长．

Answer 1

解：（1）AE⊥CF
证明：如图，连接AF，
∵AC=BC，
又∵△ABC沿BC方向向右平移BC长的距离，
∴AC=CE=EF=AF．
∴四边形ACEF是菱形．
∴AE⊥CF．

（2）如图，作AD⊥BC于D
∵tan∠ACB=，
设AD=3KDC=4K，
在Rt△ADC中，AC=10，
∵AD²+DC²=AC²
∴K=2．
∴AD=6cm，DC=8cm．
∴BD=2cm．
在Rt△ADB中，根据勾股定理：AB=2c．
分析：（1）由平移可得，∠ACB=∠FEC，AC=CE=EF=AF，那么四边形ACEF是菱形，由邻边相等可得到是菱形，所以对角线互相垂直；
（2）作出BC边上高AD，利用AC，及tan∠ACB的值，求得AD，CD长，进而得到BD长，利用勾股定理求解即可．
点评：平移前后对应线段，对应角相等，作高构造已给三角函数所在的直角三角形是常用的辅助线作法．