Question

11．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）若CP=2$\sqrt{5}$，求⊙O的半径；
（2）若在⊙O上存在点Q，使△AQC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）连接OB，延长AP交⊙O于D，连接BD，求出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°，∠OBP=∠OPB，推出∠ACP=∠ABC，可求得AB=AC，设圆半径为r，根据勾股定理得出AB²=OA²-OB²=5²-r²，AC²=PC²-PA²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，根据AC=AB得出方程5²-r²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，可求得半径；
（2）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，即可求出r范围．

解答 解：
（1）如图1，连接OB，延长AP交⊙O于D，连接BD，

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB．
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC．
设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5-r．
又∵PC=2$\sqrt{5}$，
∴AB²=OA²-OB²=5²-r²，AC²=PC²-PA²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，
∵由（1）知AC=AB，
∴5²-r²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，
解得：r=3，
即⊙O的半径是3；

（2）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，如图2，

∴OE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{5}^{2}-{r}^{2}}$，
又∵圆O与直线MN有交点，
∴OE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{5}^{2}-{r}^{2}}$≤r，
∴$\sqrt{{5}^{2}-{r}^{2}}$≤2r，即25-r²≤4r²，
∴r²≥5，
∴r≥$\sqrt{5}$．
∵OA=5，直线l与⊙O相离，
∴r＜5，
∴$\sqrt{5}$≤r＜5．

点评 本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．