Question

如图，直线y=x-3于x轴、y轴分别交于B、C；两点，抛物线y=x²+bx+c同时经过B、C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在线段BC上，且S_△PAC=

1

2

S_△PAB，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据直线y=x-3于x轴、y轴分别交于B、C，求得点B、C的坐标，然后将它们代入抛物线的解析式中，即可求得b、c的值，进而确定该抛物线的解析式．
（2）由于△PAC、△PAB同高不等底，它们的面积比等于底边的比，根据它们的面积关系即可得到PB=2PC，即PB：BC=2：3，易证得△BMP∽△BOC，利用相似三角形的相似比及线段OC的长，即可求得OM的长即P点的纵坐标，然后将其代入直线BC的解析式中，即可求得点P的坐标．

解答：解：（1）∵点B在x轴上，
∴0=x-3，
∴x=3，
∴点B的坐标为（3，0）；
∵点C在y轴上，
∴y=0-3=-3．
∴点C的坐标为（0，-3）；（1分）
∵抛物线y=x²+bx+c经过B（3，0）、C（0，-3），
∴

9+3b+c=0 c=-3

，
解得：b=-2，c=-3；（3分）
∴此抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3．（4分）

（2）解法一：
过点P作PM⊥OB于点M；
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3）
∴OB=OC=3（5分）
∵S_△PAC=

1

2

S_△PAB，
∴S_△PAB=

2

3

S_△ABC；（6分）
∵S_△ABC=

1

2

×AB×OC，S_△PAB=

1

2

×AB×PM，
∴

1

2

×AB×PM=

2

3

×

1

2

×AB×OC，
∴PM=

2

3

OC=2；（7分）
解法二：也可以先求出AB=4，再求△ABC的面积，然后利用S_△PAB=

2

3

S_△ABC求出PM的长．
求点P有两种以上的解法：
法一：由于点P在第四象限，可设点P（x_P，-2）；
∵点P在直线y=x-3上，
∴-2=x_P-3，
∴x_P=1；（7分）
∴点P的坐标为（1，-2）．（8分）
法二：∵PM⊥OB，OC⊥OB，
∴PM∥OC；
∴

BM

BO

=

PM

OC

=

2

3

，
∴BM=

2

3

×3=2；（7分）
∴OM=1
∴点P的坐标为（1，-2）．（8分）
（说明：其它解法可参照上述给分）

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法，熟练掌握三角形面积的求法，能够将三角形的面积比转换为线段的比例关系是解决（2）题的关键．