Question

16．若x₁、x₂是一元二次方程-2x²+3x+1=0的两个根，求下列代数式的值
（1）（x₁-x₂）²；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
（3）（x₁-2）（x₂-2）；
（4）|x₁-x₂|

Answer 1

分析 由根与系数的关系找出x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，再将4个代数式转换成只含x₁+x₂与x₁•x₂的形式，代入数据即可得出结论．

解答 解：∵x₁、x₂是一元二次方程-2x²+3x+1=0的两个根，
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁•x₂=$（\frac{3}{2}）^{2}$-4×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{17}{4}$；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$-2=$\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{-\frac{1}{2}}$-2=-$\frac{13}{2}$；
（3）（x₁-2）（x₂-2）=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4=-$\frac{1}{2}$-2×$\frac{3}{2}$+4=$\frac{1}{2}$；
（4）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．