Question

16．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，EF交AD于点M．
（1）试说明：MF=ME；
（2）若△ABC的面积为28cm²，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）依据角平分线的性质可得到ED=DF，然后利用HL可证明Rt△AED≌Rt△AFD，则AE=AF，最后依据等腰三角形三线合一的性质可得到MF=ME；
（2）S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，列方程求解即可．

解答 解：（1）∵AD为△ABC的觉平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF=DE．
在Rt△AED和Rt△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{ED=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$．
∴Rt△AED≌Rt△AFD．
∴AE=AF．
∵AE=AF，AD平分∠EAF，
∴EM=MF．
（2）∵S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}$AB•DF+$\frac{1}{2}$AC×DE=28，即10DF+4DE=28．
∵DF=DE，
∴14DE=28，解得DE=2．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，面积法的应用是解题的关键．