Question

4．已知等腰△ABC，AB=BC，∠ABC=90°，E为BC上的一点，连接AE，过点B作BM⊥AE于G交AC于M．
（1）如图1，若AB=4，CM=$\frac{1}{2}$AM，求BM的长；
（2）如图2，若O为AC中点，E为BC中点，过点A作AH⊥GO的延长线于点H，求证：AH=2$\sqrt{2}$EG．

Answer 1

分析 （1）作BD⊥AC于D，根据等腰直角三角形的性质，得到AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$，BD=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$=CD，再根据CM=$\frac{1}{2}$AM，即可得出DM的长，最后根据勾股定理即可得到BM的长；
（2）先连接BO，CG，根据射影定理即可得到AO×AC=AG×AE，进而判定△AOG∽△AGC，即可得出∠AGO=∠ACE=45°，再根据射影定理得出BE²=EG×EA，进而得到CE²=EG×EA，即可判定△CEG∽△AEC，进而得到∠CGE=∠ACE=45°，据此可得∠CGH=90°，根据AAS判定△AOH≌△COG，即可得出AH=CG，最后根据CG=2$\sqrt{2}$GE，得到AH=2$\sqrt{2}$GE．

解答 解：（1）如图1，作BD⊥AC于D，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，
∵AB=4，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$，BD=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$=CD，
∵CM=$\frac{1}{2}$AM，
∴CM=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{4}{3}\sqrt{2}$，
∴DM=CD-CM=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴BM=$\sqrt{{BD}^{2}{+DM}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$；

（2）证明：如图2，连接BO，CG，
∵AB=BC，O是AC的中点，
∴BO⊥AC，
又∵∠ABC=90°，BG⊥AE
∴AB²=AO×AC，AB²=AG×AE，
∴AO×AC=AG×AE，
又∵∠GAO=∠ACE，
∴△AOG∽△AGC，
∴∠AGO=∠ACE=45°，
∵BG⊥AE，∠ABE=90°，
∴BE²=EG×EA，
又∵E是为BC中点，
∴CE=BE，
∴CE²=EG×EA，
又∵∠CEG=∠AEC，
∴△CEG∽△AEC，
∴∠CGE=∠ACE=45°，
∴∠CGH=180°-45°-45°=90°，
又∵AH⊥GO，
∴∠H=∠CGO=90°，
又∵∠AOH=∠COG，AO=CO，
∴△AOH≌△COG，
∴AH=CG，
设CE=BE=1，则AB=2，AC=2$\sqrt{2}$，
由△CEG∽△AEC，可得$\frac{GE}{CE}$=$\frac{CG}{AC}$，
∴$\frac{GE}{1}$=$\frac{CG}{2\sqrt{2}}$，即CG=2$\sqrt{2}$GE，
∴AH=2$\sqrt{2}$GE．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，射影定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，利用射影定理得出两对相似三角形；解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，作底边上的高是常用的辅助线．