Question

如图1，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点F、A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动．
（1）请在6×8的网格纸中画出运动时间t为2秒时的线段PQ；
（2）如图2，动点P、Q在运动的过程中，PQ能否垂直于BF？请说明理由；
（3）在动点P、Q运动的过程中，△PQB能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间t；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为已知P，Q的速度，根据时间即可求出各自运动路程，从而画出PQ；
（2）当PQ能否垂直于BF时，则FP=2t，QB=8-t，FM=10-x，△ABF∽△MBQ，△FPM∽△FBE，联立方程解出即可．
（3）①当PB=PQ时，QP²=6²+t²，PB²=6²+（8-2t）²；②当QB=QP时，QP²=6²+t²，QB=8-t；当BP=BQ时，PB²=6²+（8-2t）²，QB=8-t；解出即可．

解答：解：（1）如图1．

（2）不能．
∵AB=8，AF=6，
∴BF=

62+82

=10，设MB=x，
经过t秒PQ⊥BF，
则FP=2t，QB=8-t，FM=10-x，
∴△ABF∽△MBQ，△FPM∽△FBE，
∴

QB

FB

=

MB

AB

，即

8-t

10

=

x

8

①，

FM

FE

=

FD

FB

，即

10-x

8

=

2t

10

②，
①②联立，解得t=

9

2

，
∵FE=8，当P到E点时t=

8

2

=4，
∵

9

2

＞4，
∴不能；

（3）作QS⊥FE于S，则PS=2t-t=t，
在Rt△PSQ中，QP²=QS²+PS²，即QP²=6²+t²，
①当PB=PQ时，QP²=6²+t²，PB²=6²+（8-2t）²；
解得，t=

8

3

或8（舍去）；
②当QB=QP时，QP²=6²+t²，QB=8-t；
解得，t=

7

4

；
③当BP=BQ时，PB²=6²+（8-2t）²，QB=8-t；
整理得，3t²-16t+36=0，△=256-36×12＜0；
∴无解．

点评：此题考查学生的数学基础知识能否灵活应用能力，及对相似三角形和三角函数的知识掌握情况．