Question

在矩形ABCD中．点E为BC边上的一动点，沿AE翻折，ABE与AFE重合，射线AF与直线CD交于点G．
（1）如图1，消退点E为BC中点时，线段AB、AG、GD之间具有怎样的数量关系？并给出证明；
（2）如图2，当BE：EC=3：1时，上问中的结论是否改变？写出证明过程；

Answer 1

（1）AG+GD=2AB．
证明：连接EG，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，
∴△ECG≌△EFG，
∴FG=CG，
∴AG=AF+FG=AB+FG，GD=DC-GC=AB-GC，
AG+GD=（AB+FG）+（AB-GC）=2AB．

（2）结论改变．
证明：过点E作EH⊥BC，分别交AG和AD于点H和I，
则HE∥GC，∠G=∠AHE，
又∠ADG=∠EFH=90°，
∴△ADG∽△EFH，
∴

AG

EH

=

AD

EF

①，
又BE：EC=3：1，
∴EH=EI+HI=AB+HI=AB+

3

4

DG，
代入①式得：

AG

AB+ 3 4 DG

=

AD

3 4 AD

，
整理得：3AG=4AB+3GD．