Question

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．

（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；
（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点．

Answer 1

（1）3。2.4。
（2）证明见解析

试题分析：（1）根据勾股定理求出AC，证△ACB∽△ADE，得出，代入求出DE=6，AE=10，过O作OQ⊥EF于Q，证△EQO∽△EDA，代入求出OQ即可。
（2）连接EG，求出EG⊥CD，求出CF=ED，根据等腰三角形三线合一的性质求出即可。
解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴由勾股定理得：AC=4。
∵AB=5，BD=3，∴AD=8。
∵∠ACB=90°，DE⊥AD，∴∠ACB=∠ADE。
∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADE。
∴，即。∴DE=6，AE=10。
∴⊙O的半径为3。
过O作OQ⊥EF于Q，则∠EQO=∠ADE=90°，

∵∠QEO=∠AED，∴△EQO∽△EDA。
∴，即。
∴OQ=2.4，即圆心O到弦EF的距离是2.4。
（2）证明：连接EG，

∵AE=10，AC=4，∴CE=6。∴CE=DE=6。
∵DE为直径，∴∠EGD=90°。
∴EG⊥CD。
∴点G为CD的中点。