Question

已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置(如图(1)所示)时，易证得结论：PA²＋PC²＝PB²＋PD²，请你探究：当点P分别在图(2)、图(3)中的位置时，PA²、PB²、PC²和PD²、又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图(2)证明你的结论．

答：对图(2)的探究结论为________________________．

对图(3)的探究结论为________________________________．

证明：如图(2)

Answer 1

答案：
解析：

结论均是PA2＋PC2＝PB2＋PD2(图2　2分，图3　1分) 　　证明：如图2过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N， 　　因为AD∥BC，MN⊥AD，所以MN⊥BC 　　在Rt△AMP中，PA2＝PM2＋MA2 　　在Rt△BNP中，PB2＝PN2＋BN2 　　在Rt△DMP中，PD2＝DM2＋PM2 　　在Rt△CNP中，PC2＝PN2＋NC2 　　所以PA2＋PC2＝PM2＋MA2＋PN2＋NC2 　　PB2＋PD2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2 　　因为MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，所以四边形MNCD是矩形 　　所以MD＝NC，同理AM＝BN， 　　所以PM2＋MA2＋PN2＋NC2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2 　　即PA2＋PC2＝PB2＋PD2