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如图,已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁,一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向,向正东航行8海里到C处后,又测得该灯塔在北偏东30°方向,渔轮不改变航向,继续向东航行,有没有触礁危险?请通过计精英家教网算说明理由.(参考数据
3
1.732)
分析:作AD⊥BC交BC的延长线于D,分别在Rt△ACD、Rt△ABD中求得CD、BD的长,再根据已知从而求得AD的值,然后与7进行比较,若大于7则无危险,否则有危险.
解答:解:作AD⊥BC交BC的延长线于D,
设AD=x,在Rt△ACD中,∠CAD=30°,
∵tan30°=
CD
AD

CD
x
=
3
3

3
x=3CD,
∴CD=
3
3
x.
在Rt△ABD中,∠ABD=30°,
∴BD=
3
x
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∵BC=8,
3
x-
3
3
x=8,
x=4
3
≈6.928,
∵6.928海里<7海里,
∴有触礁危险,
方法二,∵∠ABC=90°-60°=30°,∠ACD=90°-30°=60°,
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°=∠ABC,
∴BC=AC=8海里,
在△ACD中,∵∠ADC=90°,∠ACD=60°,
∴∠CAD=30°,
∴CD=
1
2
AC=4海里,
由勾股定理得:AD=4
3
海里<7海里,
答:有触礁危险.
点评:解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.
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