Question

一元二次方程mx²-2mx+m-2=0．
（1）若方程有两实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为x₁，x₂，且|x₁-x₂|=1，求m．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：判别式法

分析：（1）根据关于x的一元二次方程mx²-2mx+m-2=0有两个实数根，得出m≠0且（-2m）²-4•m•（m-2）≥0，求出m的取值范围即可；
（2）根据方程两实根为x₁，x₂，求出x₁+x₂和x₁•x₂的值，再根据|x₁-x₂|=1，得出（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1，再把x₁+x₂和x₁•x₂的值代入计算即可．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程mx²-2mx+m-2=0有两个实数根，
∴m≠0且△≥0，即（-2m）²-4•m•（m-2）≥0，
解得m≥0，
∴m的取值范围为m＞0．

（2）∵方程两实根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=

m-2

m

，
∵|x₁-x₂|=1，
∴（x₁-x₂）²=1，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1，
∴2²-4×

m-2

m

=1，
解得：m=8；
经检验m=8是原方程的解．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．