Question

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）求∠EBF的度数；
（3）若BC=2

3

，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；
（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，进而求得∠FEB=60°，得出△EBF是等边三角形，从而得出∠EBF=60°；
（3）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB，最后根据矩形的面积公式即可求得；

解答：（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，

∠BAC=∠FCO ∠AOE=∠COF AE=CF

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；

（2）解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=∠ABO=30°，
∵在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
∴∠FEB=60°，
∴△EBF是等边三角形，
∴∠EBF=60°．

（3）解：∵BC=2

3

，∠BAC=30°，
∴AC=2BC=4

3

，
∴AB=

AC2-BC2

=

(4 3 )2-(2 3 )2

=6，
∴矩形ABCD的面积=AB•BC=6×2

3

=12

3

．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．