Question

3．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上一动点（点E不与点B、C重合），以线段DE为边长，作正方形DEFG，使得点F、G落在直线DE的下方，连接AF、BF．当△ABF为等腰三角形时，BE的长为$\frac{1}{2}$或1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 分两种情形：①如图1中，当FA=FB时，由△DCE≌△EMF，推出FM=BM，推出四边形BMNF是正方形即可解决问题．②如图2中，当BA=BF时，根据CE=BM=FN即可解决问题．

解答 解：①如图1中，当FA=FB时，作FN⊥AB于N，FM⊥CB于M，
∵四边形ABCD、DEFG是正方形，
∴∠C=∠DEF=∠M=∠ABC=90°，DE=EF，DC=BC，
∵∠DEC+∠FEM=90°，∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠CDE=∠FEM，
在△DCE和△EMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠M}\\{∠CDE=∠FEM}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△EMF，
∴FM=CE，CD=EM=BC，
∴BM=EC=FM，
∴△BMF是等腰直角三角形，
∴∠FBM=∠FBN=45°，
∵∠FNB=90°，FA=FB，
∴AN=BN=NF=$\frac{1}{2}$，
∵∠M=∠MBN=∠BNF=90°，
∴四边形BMFN是矩形，
∵NF=NB，
∴四边形BMFN是正方形，
∴BM=FN=CE=EB=$\frac{1}{2}$．
②如图2中，当BA=BF时，由（1）可知，△BNF是等腰直角三角形，BF=AB=1，
∴BM=CE=FN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴EB=BC-CE=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
③当AB=AF时，点E与点B重合，不合题意．
故答案为$\frac{1}{2}$或1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型，学会添加辅助线的方法．