Question

6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax-1（a≠0）的图象与x轴交于点C，与y轴交于点D，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，点B的坐标是（3，m），连接OB，tan∠BOD=$\frac{3}{4}$．
（1）求m的值和一次函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得△ACP的面积是△AOB的面积的3倍，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点B作BE⊥y轴于点E，在Rt△BOE中，根据已知的三角函数值，得到点B的坐标，代入一次函数解析式中求出一次函数的解析式；
（2）把点B的坐标代入反比例函数解析式中得到反比例函数的解析式，与一次函数解析式联立求出点A的坐标，再求出OC的长，最后利用三角形的面积公式求出△AOC与△BOC的面积，相加得到△AOB的面积，那么S_△ACP=3S_△AOB．然后分三种情况进行讨论：①点P在x轴上方；②点P在线段OD上；③点P在点D下方．

解答 解：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，
在Rt△BOE中，∵tan∠BOE=$\frac{BE}{OE}$=$\frac{3}{4}$，点B的坐标是（3，m），
∴B（3，-4），m=-4，
把B（3，-4）代入一次函数y=ax-1中，
得3a-1=-4，解得a=-1，
∴一次函数的解析式为y=-x-1；

（2）把B（3，-4）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$中，
解得：k=-12，
则反比例函数的解析式为y=-$\frac{12}{x}$．
将y=-x-1代入y=-$\frac{12}{x}$，得-x-1=-$\frac{12}{x}$，
整理得，x²+x-12=0，
解得x₁=3，x₂=-4，
当x₁=3时，y₁=-4，
当x₂=-4时，y₂=3，
∴A（-4，3）．
∵一次函数y=-x-1（a≠0）的图象与x轴交于点C，
∴令y=0，得x=-1，∴C（-1，0），OC=1，
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×1×4=3.5，
∴S_△ACP=3S_△AOB=10.5．
设点P的坐标为（0，y）．
①如果点P在x轴上方，过点A作AM⊥x轴于M，
∵S_△ACP=S_梯形AMOP-S_△ACM-S_△OCP，
∴$\frac{1}{2}$（3+y）×4-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×1×y=10.5，
解得y=6，
∴P（0，6）；
②如果点P在线段OD上，
∵S_△ACP＜S_△AOD=$\frac{1}{2}$×1×4=2＜10.5，
∴点P不可能在线段OD上；
③如果点P在点D下方，过点A作AN⊥y轴于N，
∵S_△ACP=S_△APN-S_△OCP-S_梯形ONAC，
∴$\frac{1}{2}$（3-y）×4-$\frac{1}{2}$×1×（-y）-$\frac{1}{2}$（1+4）×3=10.5，
解得y=-8，
∴P（0，-8）．
综上所述，所求点P的坐标为（0，6）或（0，-8）．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形函数定义，以及三角形的面积公式的运用，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．