Question

17．如图，E为正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC．
（1）AE与CE相等吗？证明你的结论．
（2）求∠DAE的度数．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABE≌△CBE，再利用全等三角形的性质，即可得到AE=CE；
（2）由正方形的性质得到AB=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ABD=∠DBC=45°，推出AB=BE，根据三角形的内角和定理求出∠BAE=∠BEA=67.5°，根据∠DAE=∠DAB-∠BAE即可求出答案．

解答 解：（1）AE与CE相等，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∵BE=BC，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABD）=67.5°，
∴∠DAE=∠DAB-∠BAE=90°-67.5°=22.5°．

点评 本题主要考查对正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点；熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定方法是解决问题的关键．