Question

14．如图所示，菱形纸片ABCD中，将纸片沿着BF折叠，使得点A落在点E，当E为CD的中点时，$\frac{BF}{AF}$=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 由四边形ABCD是菱形，得到AB=BC=CD=AD，过B作BM⊥AD于M，BN⊥CD于N，过E作EG∥AD于G，交BF于P，由折叠的性质得，∠AFP=∠EFP，AF=EF，AB=BF，根据平行线的性质得到∠EFP=∠EPF，BE=BC，根据三角形的中位线的性质得到DF=PG=$\frac{1}{2}$AF，求得DF=$\frac{1}{3}$AD，得到AF=$\frac{2}{3}$AD，根据全等三角形的性质得到AM=CN=$\frac{1}{4}$AD，设CN=AM=x，得到AD=AB=4x，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
过B作BM⊥AD于M，BN⊥CD于N，过E作EG∥AD于G，交BF于P，
∴∠EPF=∠AFP，AD=EG，
由折叠的性质得，∠AFP=∠EFP，AF=EF，AB=BF，
∴∠EFP=∠EPF，BE=BC，
∴EF=EP，
∴EP=AF，
∴DF=PG=$\frac{1}{2}$AF，
∴DF=$\frac{1}{3}$AD，
∴AF=$\frac{2}{3}$AD，
∵E为CD的中点，
∴CN=$\frac{1}{4}$CD，
在Rt△ABM与Rt△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{BM=BN}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN，
∴AM=CN=$\frac{1}{4}$AD，
设CN=AM=x，
∴AD=AB=4x，
∴AF=$\frac{8}{3}$x，
∴FM=$\frac{5}{3}$x，
∵BF²-MF²=AB²-AM²，
∴BF²-（$\frac{5}{3}$x）²=（4x）²-x²，
∴BF=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$x，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．