Question

13．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠B=45°，以D为圆心，DC为半径的圆交AD于点E．若AB=2$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{3}$，判断直线AB与⊙D位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 作AM⊥BC于M，作DN⊥BA于N，则四边形AMCD是矩形，得出CD=AM，由平行线的性质得出∠DAN=∠B=45°，证出△ABM和△DAN都是等腰直角三角形，由勾股定理得出AM=2，DN=$\sqrt{6}$，得出⊙D的半径r=2，由DN=$\sqrt{6}$＞2，即可得出结果．

解答 解：直线AB与⊙D相离；理由如下：
作AM⊥BC于M，作DN⊥BA于N，如图所示：
则∠DNA=∠AMB=90°，四边形AMCD是矩形，
∴CD=AM，
∵AD∥BC，∠DAN=∠B=45°，
∴△ABM和△DAN都是等腰直角三角形，
∴AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2，DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{6}$，
∴CD=2，即⊙D的半径r=2，
∵DN=$\sqrt{6}$＞2，
∴直线AB与⊙D相离．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、矩形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线得出等腰直角三角形是解决问题的关键．