Question

已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE；过点A作AE的垂线交DE于点P；若AE=AP=1，PB=，下列结论中正确的是

1. A.
   △ADP≌△ABP
2. B.
   DE⊥BE
3. C.
   ∠ABE=∠ABP
4. D.
   ∠APD=120°

Answer 1

B
分析：根据同角的余角相等可得∠BAE=∠DAP，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADP全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DP，对应角相等可得∠APD=∠AEB，∠ABE=∠ADP，再证明△AEP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AEP=∠APE=45°，然后求出∠APD=135°，再求出∠BED=90°，即可得解．
解答：∵AP⊥AE，
∴∠EAP=90°，即∠BAE+∠BAP=90°，
又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠BAP+∠DAP=90°，
∴∠BAE=∠DAP，
在△ABE和△ADP中，
∵，
∴△ABE≌△ADP（SAS），
∴BE=DP，∠APD=∠AEB，∠ABE=∠ADP，
∵AE=AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠APD=180°-45°=135°，故D选项错误；
∴∠BED=∠AEB-∠AEP=135°-45°=90°，
∴DE⊥BE，故B选项正确；
∵AE=AP=1，PB=，
∴EP===，
在Rt△BEP中，BE===，
∴PB≠BE，
∴PD≠PB，
因此△ADP和△ABP不全等，故A选项错误；
∴∠ADP≠∠ABP，
又∵∠ABE=∠ADP，
∴∠ABE≠∠ABP，故C选项错误．
故选B．
点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，本题证明得到△ABE和△ADP全等是解题的关键．