Question

15．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连结BD．
（1）求证：四边形FECD是正方形；
（2）若BE=1，ED=2$\sqrt{2}$求tan∠DBC的值．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形FECD为平行四边形，再证出CD=CE，得出四边形FECD为菱形，由∠C=90°，即可得出四边形FECD为正方形；
（2）先由三角函数求出正方形FECD的边长CD=CE，得出BC，即可求出tan∠DBC的值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=∠C=90°，
∵EF∥DC，
∴四边形FECD为平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠CDE=∠DEC，
∴CD=CE，
∴四边形FECD是菱形，
又∵∠C=90°，
∴平行四边形FECD是正方形；
（2）解：∵四边形FECD是正方形，
∴∠CDE=45°，
∵$ED=2\sqrt{2}\begin{array}{l}，\end{array}$
∴CE=CD=ED•sin45°=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
∴BC=BE+EC=1+2=3，
∴$tan∠DBC=\frac{DC}{BC}=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、平行四边形和菱形的判定、解直角三角形；熟练掌握矩形和正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．