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已知抛物线yax2bxc经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的解析式和对称轴;      
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC是以AC为斜边的Rt△时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)设过点A的直线与抛物线在第一象限的交点为N,当△ACN的面积为时,求直线AN的解析式.

(1)y=-x2+2x+3  (2) P1(1,1),P2(1,2)   (3)

解析试题分析:
解:(1)将三点代入y=ax2+bx+c中,易求解析式为:
对称轴为:直线 
(2)设点P(1,y)是直线l上的一个动点,作CF⊥l于F,lx轴于E,
则AC2=AO2+CO2=10,CP2=CF2+PF2=1+(3-y)2
AP2=AE2+PE2=4+y2, ∴由CP2+AP2=AC2
得:+4+y2=10,解得
∴P点的坐标为P1(1,1)、P2(1, 2)
解法二; 用△相似解法更简单如下:
∵CP⊥AP,∴△CPF∽△PAE,∴,∴∴解得
(3)
设点M(1,m), 与(2)同理可得:AC2=10,CM2,AM2=4+m2
①当AC=CM时,10=,解得:m=0或m=6(舍去)
②当AC=AM时,10=4+m2, 解得:mm
③当CM=AM时,=4+m2,解得:m=1
检验:当m=6时,M、A、C三点共线,不合题意,故舍去;
综上可知,符合条件的M点有4个,
M坐标为(1,0) 、(1,)、(1,-)、(1,1)

(4)设直线AN的解析式为,且交y轴于点K,∵过点A(―1, 0),∴
∴K(0,k),∵N是直线AN与抛物线的交点,∴,解得x=3―k
x=―1(舍去),∴N点的横坐标为x=3―kk<3)  
由S△ACN=S△ACK+S△CKNCK·OA+CK·NJ=(3―k)×1+(3―k2

,解得k(舍去),或k
∴直线AN的解析式为
考点:一次函数,二次函数图像及性质,相似三角形判定及性质,三角形面积公式,等腰三角形性质。
点评:熟知上述性质概念,本题综合性很强,运用的知识点很多,要认真审题才可解之,还需做辅助线求得,在二问中有两个答案易漏求,求得方法也不唯一,三问中可求有五个点,有一个不合题意需舍去,四问中同样也有一个要舍去,计算量较多,易出错,难度较大,属于难题。

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知抛物线yax2bxc(a>0)经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.

(1)求该抛物线的解析式.

(2)点D在线段AB上且ADAC,若动点PA出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若存在,请说明理由.

(3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M,使△MPQ为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐

标;若存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3)、B(4,3)、C(1,0).
【小题1】填空:抛物线的对称轴为直线x=______,抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为______;
【小题2】求该抛物线的解析式.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知抛物线yax2bxc(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(—1,0)、C(0,—3)两点,与x轴交于另一点B
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90°的点P的坐标.

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科目:初中数学 来源:2012届山东邹城北宿中学九年级3月月考数学试卷(带解析) 题型:解答题

已知抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上, 求点D关于直线BC对称的点的坐标;
(3)在(2)的条件下,连结BD,若点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.

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科目:初中数学 来源:2010-2011年浙江省嵊州市九年级上学期期末考试数学卷 题型:解答题

(本小题满分14分)

如图,已知抛物线yax2bxcx轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。设抛物线的顶点为D,求解下列问题:

1.(1)求抛物线的解析式和D点的坐标;

2.(2)过点D作DF∥轴,交直线BC于点F,求线段DF的长,并求△BCD的面积;

3.(3)能否在抛物线上找到一点Q,使△BDQ为直角三角形?若能找到,试写出Q点的坐标;若不能,请说明理由。

 

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