Question

1．如图，A、B两点在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC=1
（1）若k=2，则AO的长为$\sqrt{5}$，△BOD的面积为1；
（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO=AB时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由AC和k的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出OA的长度，由点B在反比例函数图象上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出△BOD的面积；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出AB、AO的长度，由AO=AB即可得出关于k的方程，解之即可求出k值，再根据k＞1即可确定k值．

解答 解：（1）∵AC=1，k=2，
∴点A（1，2），
∴OC=2，OA=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴S_△BOD=$\frac{1}{2}$|k|=1．
故答案为：$\sqrt{5}$；1．

（2）∵A，B两点在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴A（1，k），B（k，1），
∴AO=$\sqrt{{1}^{2}+{k}^{2}}$，AB=$\sqrt{（k-1）^{2}+（1-k）^{2}}$．
∵AO=AB，
∴$\sqrt{{1}^{2}+{k}^{2}}$=$\sqrt{（k-1）^{2}+（1-k）^{2}}$，
解得：k=2+$\sqrt{3}$或k=2-$\sqrt{3}$．
∵k＞1，
∴k=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）根据反比例函数系数k的几何意义找出△BOD的面积；（2）根据AO=AB找出$\sqrt{{1}^{2}+{k}^{2}}$=$\sqrt{（k-1）^{2}+（1-k）^{2}}$．