Question

（1998•南京）已知，如图，⊙O₁与⊙O₂相交，点P是其中一个交点，点A在⊙O₂上，AP的延长线交⊙O₁于点B，AO₂的延长线交⊙O₁于点C、D，交⊙O₂于点E，连接PC、PE、PD，且

PC

PD

=

CE

DE

，过A作⊙O₁的切线AQ，切点为Q．求证：
（1）∠CPE=∠DPE；
（2）AQ²-AP²=PC•PD．

Answer 1

分析：（1）过D作DM∥PE交CP的延长线于M，根据平行线分线段成比例定理求出PM=PD，推出∠M=∠PDM，根据平行线的性质得出∠M=∠CPE，∠DPE=∠PDM，即可得出答案；
（2）根据切割线定理得出AQ²=AP×AB，证△APC∽△DPB，推出

AP

PD

=

PC

BP

，得出AP×BP=PC×PD，代入即可得出答案．

解答：（1）证明：过D作DM∥PE交CP的延长线于M，
则

PC

PM

=

CE

DE

，
∵

PC

PD

=

CE

DE

，
∴PM=PD，
∴∠M=∠PDM，
∵PE∥MD，
∴∠M=∠CPE，∠DPE=∠PDM，
∴∠CPE=∠DPE；

（2）证明：连接BD，
∵O₂在AE上，
∴∠APE=∠BPE=90°，
∵∠CPE=∠DPE，
∴∠APC=∠BPD，
∵P、B、D、C四点共圆，
∴∠ACP=∠B，
∴△APC∽△DPB，
∴

AP

PD

=

PC

BP

，
∴AP×BP=PC×PD，
∵AQ切⊙O₁于Q，APB是⊙O₁的割线，
∴AQ²=AP×AB，
∴AQ²-AP²=AP×AB-AP²=AP（AB-AP）=AP×BP=PC•PD，
即AQ²-AP²=PC•PD．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．