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【题目】如图,抛物线yax2+2x+ca0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点COBOC3

1)求该抛物线的函数解析式;

2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接ODCDODBC于点F,当SCOFSCDF32时,求点D的坐标.

3)如图2,点E的坐标为(0),在抛物线上是否存在点P,使∠OBP2OBE?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2)点D14)或(23);(3)当点Px轴上方时,点P);当点Px轴下方时,点(﹣,﹣

【解析】

(1)c=3,点B(30),将点B的坐标代入抛物线表达式:y=ax2+2x+3,解得a=1即可得出答案;

(2)SCOFSCDF=32OFFD=32,由DHCOCODM=32,求得DM=2,而DM==2,即可求解;

(3)分点Px轴上方、点Px轴下方两种情况,分别求解即可.

(1) OB=OC=3

∴点C的坐标为C(03)c=3,点B的坐标为B(30)

将点B的坐标代入抛物线表达式:y=ax2+2x+3,解得:a=1

故抛物线的表达式为:y=x2+2x+3

(2)如图,过点DDHx轴于点H,交BC于点M

SCOFSCDF=32

OFFD=32

DHCO

CODM= OFFD=32

DM=CO=2

设直线BC的表达式为:

C(03)B(30)代入得

解得:

∴直线BC的表达式为:y=x+3

设点D的坐标为(x,﹣x2+2x+3),则点M(x,﹣x+3)

DM==2

解得:x=12

故点D的坐标为:(14)(23)

(3)①当点Px轴上方时,

OG=OE,连接BG,过点B作直线PB交抛物线于点P,交y轴于点M,使∠GBM=GBO

则∠OBP=2OBE,过点GGHBM,如图,

∵点E的坐标为(0)

OE=

∵∠GBM=GBOGHBMGOOB

GH= GO=OE=BH=BO=3

MH=x,则MG=

OBM中,OB2+OM2=MB2,即

解得:x=2

MG==,则OM=MG+ GO=+

M的坐标为(04)

设直线BM的表达式为:

将点B(30)M(04)代入得:

解得:

∴直线BM的表达式为:y=x+4

解方程组

解得:x=3(舍去)

x=代入 y=x+4y=

故点P的坐标为()

②当点Px轴下方时,如图,过点EENBP,直线PBy轴于点M

∵∠OBP=2OBE

BE是∠OBP的平分线,

EN= OE=BN=OB=3

MN=x,则ME=

OBM中,OB2+OM2=MB2,即

解得:

,则OM=ME+ EO=+

M的坐标为(0-4)

设直线BM的表达式为:

将点B(30)M(0-4)代入得:

解得:

∴直线BM的表达式为:

解方程组

解得:x=3(舍去)

x=代入

故点P的坐标为()

综上,点P的坐标为:()()

练习册系列答案
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【题目】如图,直线y=x+2与抛物线y=x22mx+m2+m交于AB两点(AB的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,抛物线的对称轴与直线AB交于点M

1)当四边形CODM是菱形时,求点D的坐标;

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3)作点B关于直线MD的对称点B',以点M为圆心,MD为半径作M,点QM上一动点,求QB'+QB的最小值.

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请写出反比例函数的图象上的一对相关点的坐标;

如图,抛物线的对称轴为直线,与轴交于点

求抛物线的解析式:

若点是抛物线上的一对相关点,直线轴交于点,点为抛物线上之间的一点,求面积的最大值.

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【题目】“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框,使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置(如图1).图2是“滑块铰链”的平面示意图,滑轨MN安装在窗框上,悬臂DE安装在窗扇上,支点BCD始终在一条直线上,已知托臂AC20厘米,托臂BD40厘米,支点CD之间的距离是10厘米,张角∠CAB60°.

(1)求支点D到滑轨MN的距离(精确到1厘米)

(2)将滑块A向左侧移动到A′,(在移动过程中,托臂长度不变,即ACAC′,BCBC)当张角∠CA'B45°时,求滑块A向左侧移动的距离(精确到1厘米)(备用数据:1.411.732.452.65)

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1)如果cosDBC,求EF的长;

2)当点F在边BC上时,连接AG,设ADxy,求y关于x的函数关系式并写出x的取值范围;

3)连接CG,如果FCG是等腰三角形,求AD的长.

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【题目】如图,在△ABC中,C=60°,BC=3厘米,AC=4厘米,点P从点B出发,沿BCA以每秒1厘米的速度匀速运动到点A.设点P的运动时间为xBP两点间的距离为y厘米

小新根据学习函数的经验,对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究

下面是小新的探究过程,请补充完整:

(1)通过取点、画图、测量,得到了xy的几组值,如下表:

x(s)

0

1

2

3

4

5

6

7

y(cm)

0

1.0

2.0

3.0

2.7

2.7

m

3.6

经测量m的值是(保留一位小数)

(2)建立平面直角坐标系,描出表格中所有各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;

(3)结合画出的函数图象,解决问题:在曲线部分的最低点时,在△ABC中画出点P所在的位置.

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【题目】如图,抛物线yax2+bx+cabc是常数,a≠0)与x轴交于AB两点,顶点Pmn).给出下列结论

2a+c0

②若在抛物线上,则y1y2y3

③关于x的方程ax2+bx+k0有实数解,则kcn

④当n=﹣时,△ABP为等腰直角三角形;

其中正确结论个数有(  )个.

A.1B.2C.3D.4

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