在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋.AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处.小狗在不能进入小屋内的条件下活动.其可以活动的区域面积为S(m2)．(1)如图1.若BC=4m.则S=88πm2．中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域.使之变成落地为五边形ABCED的小屋.其他条件不变.则在BC的变化过程中.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m²）．
（1）如图1，若BC=4m，则S=88πm²．
（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为$\frac{5}{2}$m．

分析（1）小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的$\frac{3}{4}$圆，以C为圆心、6为半径的$\frac{1}{4}$圆和以A为圆心、4为半径的$\frac{1}{4}$圆的面积和，据此列式求解可得；
（2）此时小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的$\frac{3}{4}$圆，以A为圆心、x为半径的$\frac{1}{4}$圆、以C为圆心、10-x为半径的$\frac{30}{360}$圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可．

解答解：（1）如图1，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示：

由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的$\frac{3}{4}$圆，以C为圆心、6为半径的$\frac{1}{4}$圆和以A为圆心、4为半径的$\frac{1}{4}$圆的面积和，
∴S=$\frac{3}{4}$×π•10²+$\frac{1}{4}$•π•6²+$\frac{1}{4}$•π•4²=88π，
故答案为：88π；

（2）如图2，

设BC=x，则AB=10-x，
∴S=$\frac{3}{4}$•π•10²+$\frac{1}{4}$•π•x²+$\frac{30}{360}$•π•（10-x）²
=$\frac{π}{3}$（x²-5x+250）
=$\frac{π}{3}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{325π}{4}$，
当x=$\frac{5}{2}$时，S取得最小值，
∴BC=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积．

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