【题目】第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市举行.为了调查学生对冬奥知识的了解情况,从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试,获得了他们的成绩(百分制),并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.甲校20名学生成绩的频数分布表和频数分布直方图如下:
b.甲校成绩在的这一组的具体成绩是:
87 88 88 88 89 89 89 89
c.甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下:
根据以上图表提供的信息,解答下列问题:
(1)表1中a = ;表2中的中位数n = ;
(2)补全图1甲校学生样本成绩频数分布直方图;
(3)在此次测试中,某学生的成绩是87分,在他所属学校排在前10名,由表中数据可知该学生是 校的学生(填“甲”或“乙”),理由是 ;
(4)假设甲校200名学生都参加此次测试,若成绩80分及以上为优秀,估计成绩优秀的学生人数为__________.
【答案】(1)1,88.5;(2)见解析;(3)乙,乙的中位数是85,87>85;(4)140
【解析】
(1)根据频数分布表和频数分布直方图的信息列式计算即可得到a的值,根据中位数的定义求解可得n的值;
(2)根据题意补全频数分布直方图即可;
(3)根据甲这名学生的成绩为87分,小于甲校样本数据的中位数88.5分,大于乙校样本数据的中位数85分可得;
(4)利用样本估计总体思想求解可得.
(1)a= ,由频数分布表和频数分布直方图中的信息可知,排在中间的两个数是88和89,
∴,
故答案为: 1,88.5;
(2) ∵b=20-1-3-8-6=2,
∴补全图1甲校学生样本成绩频数分布直方图如图所示;
(3)在此次测试中,某学生的成绩是87分,在他所属学校排在前10名,由表中数据可知该学生是乙校的学生,
理由:乙的中位数是85,87>85,
故答案为:乙,乙的中位数是85,87>85;
(4) ,
∴成绩优秀的学生人数为140人,
故答案为:140人.
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【题目】如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°.
(1)用尺规作AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.(不写作法,但保留作图痕迹)
(2)求证:BF=2CF.
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【题目】如图,已知抛物线过点A(4,0),B(﹣2,0),C(0,﹣4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点M是抛物线AC段上的一个动点,当图中阴影部分的面积最小值时,求点M的坐标.
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【题目】下面是小明设计的“过三角形的一个顶点作该顶点对边的平行线”的尺规作图过程.
已知:如图1,△ABC.
求作:直线AD,使AD∥BC.
作法:如图2:
①分别以点A、C为圆心,以大于AC为半径作弧,两弧交于点E、F;
②作直线EF,交AC于点O;
③作射线BO,在射线BO上截取OD(B与D不重合),使得OD = OB;
④作直线AD.
∴ 直线AD就是所求作的平行线.
根据小明设计的尺规作图过程,完成下面的证明.
证明:连接CD.
∵OA =OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形(_______________________)(填推理依据).
∴AD∥BC(__________________________________)(填推理依据).
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【题目】服装厂批发某种服装,每件成本为65元,规定不低于10件可以批发,其批发价y(元/件)与批发数量x(件)(x为正整数)之间所满足的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间所满足的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)设服装厂所获利润为w(元),若10≤x≤50(x为正整数),求批发该种服装多少件时,服装厂获得利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】(本题满分10分)在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元.
(1)求每张门票原定的票价;
(2)根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点A、B的坐标分别为(-,0)、(0,-1),把点A绕坐标原点O顺时针旋转135°得点C,若点C在反比例函数y=的图象上.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)若点D在y轴上,点E在反比例函数y=的图象上,且以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形.请画出满足题意的示意图并在示意图的下方直接写出相应的点D、E的坐标.
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【题目】如图1,△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,BC=2,将线段BC绕点C顺时旋转90°得到线段CD,连接AD.
(1)说明△ACD的形状,并求出△ACD的面积;
(2)把等腰直角三角板按如图2的方式摆放,顶点E在CB边上,顶点F在DC的延长线上,直角顶点与点C重合.从A,B两题中任选一题作答:
A .如图3,连接DE,BF,
①猜想并证明DE与BF之间的关系;②将三角板绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°),直接写出DE与BF之间的关系.
B .将图2中的三角板绕点C逆时针旋转α(0<α<360°),如图4所示,连接BE,DF,连接点C与BE的中点M,
①猜想并证明CM与DF之间的关系;②当CE=1,CM=时,请直接写出α的值.
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【题目】某校初二数学兴趣小组活动时,碰到这样一道题:
“已知正方形AD,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,若,则EG=FH”.
经过思考,大家给出了以下两个方案:
(甲)过点A作AM∥HF交BC于点M,过点B作BN∥EG交CD于点N;
(乙)过点A作AM∥HF交BC于点M,作AN∥EG交CD的延长线于点N;
(1)对小杰遇到的问题,请在甲、乙两个方案中任选一个,加以证明(如图1)
(2)如果把条件中的“”改为“EG与FH的夹角为45°”,并假设正方形ABCD的边长为1,FH的长为(如图2),试求EG的长度.
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