Question

如图，在直角坐标系xoy中，以原点为圆心的⊙O的半径是

4

5

5

，过A（0，4）作⊙O的切线交x轴于点B，T是切点，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（3，-

1

2

），且抛物线过A、B两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如果此抛物线的对称轴交x轴于D点，问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△BCD∽△OPB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可根据C点的坐标，用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入求解即可．
（2）先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，然后可分两种情况讨论：
①当△BCD∽△BPO，那么

CD

OP

=

OD

OB

；②当△BCD∽△PBO，则有

BD

OP

=

CD

OB

；
根据上述两种情况中不同的对应成比例线段可求出不同的符合条件的P点坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-3）²-

1

2

，
已知抛物线过A点，则有：
a（0-3）²-

1

2

=4，
解得a=

1

2

此抛物线的解析式为：y=

1

2

（x-3）²-

1

2

（2）∵B（2，0）；C（3，-

1

2

）；D（3，0）
∴BD=1，CD=

1

2

，OB=2
∵要使△BCD∽△OPB
∴只需

BD

OB

=

CD

OP

或

BD

OP

=

CD

OB

即：

1

2

=

1 2

OP

或

1

OP

=

1 2

2

解得：OP=

1

4

或4
∴P（0，-

1

4

）或（0，-4）．
故：在y轴的负半轴上是否存在点P（0，-

1

4

）或（0，-4），使△BCD∽△OPB．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等知识点．（2）题要根据相似三角形的对应线段的不同分类进行求解，不要漏解．