Question

3．如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②BD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C_△BCD=AC+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ①②③
• D． ③④

Answer 1

分析 ①由AB=AC，∠A=36°知∠ABC=∠C=72°，MN是AB的中垂线知AD=BD，∠ABD=∠A=36°，所以∠DBC=36°①正确．
②由①知，等腰三角形有△ABC，△BDC，△ADB，②正确．
③由①知，DA=BD，△BCD的周长=BC+CD+BD=AC+BC=AB+BC，③正确．
④由①知∠AMD=90°，而△BCD为锐角三角形，所以④不正确．

解答 解：由AB=AC，∠A=36°知∠ABC=∠C=72°，
∵MN是AB的中垂线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=36°，
∴①正确，
又∠C=72°，
∴∠BDC=72°，
∴BC=BD，
∴等腰三角形有△ABC，△BDC，△ADB，
∴②正确，
由AD=BD，AB=AC知，△BCD的周长=BC+CD+BD=AC+BC=AB+BC，
∴③正确，
∵AM⊥MD，而△BCD为锐角三角形，
∴④错误，
∴正确的为：①②③．
故选C．

点评 本题考查了线段垂直平分线性质及等腰三角形性质的综合应用，是基础题，要熟练掌握．