如图.矩形的四个顶点为A.D(1.2).点E.F的坐标分别为.动点P从点E出发.以每秒2个单位长度的速度沿EO匀速运动.到达点O后立即以原来的速度沿OE返回,另一动点Q从点F出发.以每秒1个单位长度的速度沿FO匀速运动.点P.Q同时出发.两点相遇时停止运动.在点P.Q的运动过程中.以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQM．设运动时间为t．(1)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．

如图，矩形的四个顶点为A（1，1）、B（5，1）、C（5，2）、D（1，2），点E、F的坐标分别为（6，0）、（8，0），动点P从点E出发，以每秒2个单位长度的速度沿EO匀速运动，到达点O后立即以原来的速度沿OE返回；另一动点Q从点F出发，以每秒1个单位长度的速度沿FO匀速运动，点P、Q同时出发，两点相遇时停止运动，在点P、Q的运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQM．设运动时间为t．
（1）当线段PM经过点B时，求t的值；
（2）当点M落在线段AB上时，求t的值；
（3）设△PQM与矩形ABCD重合部分图形的面积为S，在点P由E向O运动过程中（含点O），当重合部分的图形存在时，求S与t之间的函数关系式；
（4）若点G的坐标为（4，0），线段PM与线段AB的交点为N，请写出使得△OGN为等腰三角形时所有t的值．

分析（1）求出点P运动的路程即可解决问题．
（2）当点P从点E运动到O时，点M不可能在线段AB上，当点P从点O向点E运动时，点M在线段AB上时，路程方程即可解决．
（3）是分段函数，当1＜t$≤\frac{4}{3}$时，如图1中根据S=S_△KGB求解，当$\frac{4}{3}$＜t≤2时，如图2中，作ML⊥AB于L，延长ML交PQ于T，根据S=S_△MGL+S_梯形MLBK求解，当2＜t≤3时，如图3中，根据S=S_梯形HGRK求解．
（4）分当ON=OG时，ON=NG时分别列出方程即可解决问题．

解答解；（1）当线段PM经过点B时，t=$\frac{2}{2}$=1s，
∴t=1s时，线段PM经过点B
（2）当点P从点E运动到O时，点M不可能在线段AB上，
当点P从点O向点E运动时，点M在线段AB上时，则2t+t=12，t=4s．
∴t=4s时，点M在线段AB上．
（3）如图1中，设PM交AB、BC于G、K，延长CB交PQ于H，则PH=KH=2t-1，

当点M在线段BC上时，2t-1=3-t，解得t=$\frac{4}{3}$，
当1＜t$≤\frac{4}{3}$时，S=S_△KGB=$\frac{1}{2}$（2t-2）²=2（t-2）²，
当QM经过点B时，t=2，此时点M在线段CD上，
当$\frac{4}{3}$＜t≤2时，如图2中，作ML⊥AB于L，延长ML交PQ于T，则S=S_△MGL+S_梯形MLBK

∵PT=TQ=MT=$\frac{1}{2}$（2t+2-t）=$\frac{1}{2}$（t+2），
∴ML=GL=$\frac{1}{2}$（t+2）-1=$\frac{1}{2}$t，HT=LB=$\frac{1}{2}$（t+2）-（3-t）=$\frac{3}{2}t$-2，KB=HK-1=2-t，
∴S=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$t）²+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$t+2-t）•（$\frac{3}{2}$t-2）=-$\frac{1}{4}$t²+2t-2
当2＜t≤3时，如图3中，S=S_梯形HGRK，

∵GR=PQ-2，HK=PQ-4，
∴GR=t，KH=t-2，
∴S=$\frac{1}{2}$（t+t-2）•1=t-1．
综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{2（t-2）^{2}}&{（1＜t≤\frac{4}{3}）}\\{-\frac{1}{4}{t}^{2}+2t-2}&{（\frac{4}{3}＜t≤2）}\\{t-1}&{（2＜t≤3）}\end{array}\right.$，
（4）如图4中，

当ON=OG时，作NM⊥OG垂足为M．
则OG=ON=4，OM=$\sqrt{O{N}^{2}-N{M}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∵PM=NM=1，
∴OP=$\sqrt{15}$-1，
∴6-2t=$\sqrt{15}$-1或2t-6=$\sqrt{15}$-1，
∴t=$\frac{7-\sqrt{15}}{2}$或$\frac{5+\sqrt{15}}{2}$（不合题意舍弃），
当ON=NG时，OM=MG=2，OP=1，
∴6-2t=1或2t-6=1，
∴t=$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{2}$，
综上所述t=$\frac{7-\sqrt{15}}{2}$或$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{2}$时，△ONG是等腰三角形．

点评本题考查四边形综合题，等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是找到关键点，学会正确画出图形，学会添加常用辅助线，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．

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