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    12．如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，∠BCO=∠CAB，tan∠BCO=$\frac{1}{2}$
    （1）求抛物线解析式；
    （2）将抛物线沿y轴负半轴平移t（t＞0）个单位，当抛物线与线段OA有且只有一个交点时，请直接写出t的取值范围或者t的值；
    （3）分别以线段AC的端点为顶点，以AC为一边作一个与∠ABC相等的角，角的另一边与抛物线交于点P，求点P的坐标．

    分析 （1）首先确定A、B、C三点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
    （2）当抛物线的顶点平移至x轴上时，抛物线的解析式y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）2=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{8}$，此时抛物线与线段OA只有1个交点，此时t=$\frac{25}{8}$，当平移后的抛物线经过点O时，抛物线与线段OA有两个交点，此时t=2，结合图象即可解决问题．
    （3）①如图，过点C作CP∥AB交抛物线于P，此时∠PCA=∠CAB满足条件，P（3，2），②求出线段AC的垂直平分线的解析式由CP的交点G，直线AG与抛物线的交点为P′，此时∠P′AC=∠PCA=∠CAB，求出直线AG的解析式，解方程组即可求出点P′坐标．

    解答 解：（1）对于抛物线y=ax2+bx+2，令x=0，则y=2，
    ∴C（0，2），
    ∴OC=2，
    ∵∠BCO=∠CAB，tan∠BCO=$\frac{1}{2}$，
    ∴$\frac{BO}{CO}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
    ∴OB=1，OA=4，
    ∴B（-1，0），A（4，0），
    把A、B两点坐标代入y=ax2+bx+2得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2．

    （2）∵y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{25}{8}$，
    ∴顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
    当抛物线的顶点平移至x轴上时，抛物线的解析式y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）2=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{8}$，此时抛物线与线段OA只有1个交点，此时t=$\frac{25}{8}$，
    当平移后的抛物线经过点O时，抛物线与线段OA有两个交点，此时t=2，
    由图象可知，当0＜t＜2或t=$\frac{25}{8}$时，抛物线与线段OA有且只有一个交点．

    （3）如图，过点C作CP∥AB交抛物线于P，此时∠PCA=∠CAB满足条件，P（3，2），

    ∵A（4，0），C（0，2），
    ∴线段AC的中点H坐标（2，1），
    ∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，过H垂直AC的直线MN的解析式为y=2x-3，
    ∴直线MN与PC的交点G为（$\frac{5}{2}$，2），设直线AG与抛物线的交点为P′，
    ∵GC=GA，
    ∴∠P′AC=∠PCA=∠CAB，
    ∵A（4，0），G（$\frac{5}{2}$，2），
    ∴直线AG解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$，
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{y=-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{3}}\\{y=\frac{28}{9}}\end{array}\right.$，
    ∴点P′坐标为（$\frac{5}{3}$，$\frac{28}{9}$），
    综上所述，满足条件的点P坐标为（3，2）或（$\frac{5}{3}$，$\frac{28}{9}$）．

    点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法、平行线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用方程组求交点坐标，属于中考压轴题．

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    （1）求抛物线的解析式；
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