Question

如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，

3

）为圆心，以2

3

为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴的负半轴于点C，连接AM、AC、AD．
（1）设L是过点A的直线，它与⊙M相交于点N，若△ACN是等腰三角形，则满中条件的直线L有几条试写出所有满足条件的L的解析式，并在图②中画出直线L．（如果不止一条，则可以用L₁、L₂、L₃，…表示）；
（2）在（1）的条件下，若直线L是某个一次函数的图象，它与y轴交于点S，连接MN，并且不再连接其它点，问是否存在一个三角形，使它总与△MSN相似，证明你的结论；
（3）在（2）的条件下求线段SM的长．

Answer 1

分析：（1）根据题意画出图形，找到等腰三角形；
（2）利用特殊值确定特殊角；
（3）根据前两题结论直接作答．

解答：解：（1）作AC的垂直平分线交圆M于N₁，N₂，根据垂直平分线的性质，△AN₁C和△AN₂C是等腰三角形，
根据垂径定理及推论，直线N₁N₂过圆心，△ACN₃是等腰三角形．
因为MO=

3

，AM=2

3

，
所以cos∠AMO=

1

2

，∠AMO=60°，∠MAN₄=30°，
于是∠S₁AM=∠S₁N₁M=30°×

1

2

=15°，∠S₁AM=45°，OS₁=OA=

(2 3 )2-( 3 )2

=3．
∴A点坐标为（-3，0），S₁坐标为（0，3），代入y=kx+b可求得解析式为y=x+3．
同理可得y=-x-3；
AN与x轴重合时，直线为x=0．

（2）存在△ASD∽△N₁S₁M．
证明：因为DC为圆M直径，所以∠DAC=90°．由（1）可知，NM⊥AC．于是∠DAS₁=∠MN₁S₁，
又因为∠DS₁A=MS₁N₁，故△ASD∽△N₁S₁M．

（3）如图由（1）（2）可知：若△ADS₁∽△N₁MS₁得MS₁=3-

3

，若△S₂AM∽△S₂AD得S₂M=3+

3

．

点评：（1）本题内容庞杂，考查知识众多，垂径定理、等腰三角形的性质、三角函数、圆周角定理、待定系数法求函数解析式等均在考查之列；
（2）从思想方法上看，此题考查了分类讨论思想、转化思想、数形结合思想，体现了数学的逻辑美．