Question

设方程a²x²+ax+1-7a²=0的两根都是整数，求所有正数a．

Answer 1

∵方程有根，
∴a²-4a²×（1-7a²）≥0，
-3a²+28a⁴≥0，

1

a2

≤

28

3

，
∴x₁+x₂=-

1

a

；x₁x₂=

1

a2

-7，
∵两根之和与两根之积均为整数，
∴

1

a2

=1，4，9．
又∵-

1

a

为整数，∴

1

a

=1，2，3，
∴a=1，

1

2

，

1

3

．